پژوهش – خواص بلور فوتونی دوبعدی متشکل از استوانه‌هایی با پوشش فراماده در یک شبکه …

هستند که a ثابت شبکه می‎باشد و بردارهای معکوس به صورت زیر هستند.
و (۳-۷)
نقاط متقارن منطقه اولین بریلوئن دارای مختصات و X= و M=( هستند.
در شکل(۳-۴) اولین منطقه تقسیم ناپذیر بریلوئن با نقاط ابر متقارن توسط مثلث خاکستری نشان داده شده است.
شکل(۳-۴). ناحیه بریلوئن اول دریک شبکه ملثی]۳۶[.
بردارهای مستقیم شبکه مثلثی به صورت زیر تعریف می‎شوند:
و (۳-۸)
و بردارهای وارون متناظر نیز به صورت هستند.
و (۳-۹)
نقاط ابر متقارن منطقه اولیه بریلوئن شبکه مثلثی دارای مختصات و K= و M=( هستند.
۳-۲ تئوری بلاخ [۵۹]
مطالعه انتشار موج در محیط های متناوب سه بعدی اولین بار توسط فیلیکس بلاخ در سال ۱۹۲۸ انجام گرفت. وی با توسعه تئوری یک بعدی فلوکونت[۶۰] ثابت کرد که امواج در چنین محیط های بدون پراکندگی منتشر می‎شوند و حاصلضرب یک تابع پوش متناوب (پریودیک) در یک موج مسطح، رفتار آنها را توصیف می‎کند. هرچند کار بلاخ روی شبکه های کریستالی اتمی و مکانیک منجر به این نتیجه جالب شد که، در یک هادی الکترونها توسط نقص های کریستالی( و نه یونهای منظم متناوب) پراکنده می‎شوند، تکنیک مشابهی را می‎توان در الکترومغناطیس با جایگذاری معادلات ماکسول به جای معادلات شرودینگر در مسائل مقدار ویژه اعمال نمود.
فرض کنید که میدان الکترومغناطیسی یک وابستگی زمانی هماهنگ به صورت دارد]۵۹[.
معادلات کرل ماکسول در دامنه فرکانس به صورت زیر نوشته می شود.
(۳-۱۰)
که E میدان الکتریکی، H میدان مغناطیسی، فرکانس زاویه ای، نفوذپذیری مغناطیسی و ثابت دی الکتریک وابسته به مکان بلور فوتونی هستند. با حذف E از معادلات بالا می‎توان به معادله زیر رسید]۵۹[.
(۳-۱۱) H
معادله فوق یک معادله ویژه مقداری است که در آن سرعت نور در خلاّ است. در اینجا نفوذپذیری مغناطیسی و گذردهی الکتریکی خلاّ می باشد.
به این ترتیب واضح است که این یک مساله ویژه مقداری، با ویژه مقدار () و عملگر می باشد. این عملگر هرمیتی است. بنابراین، همان تئوری جبر خطی حاکم در مکانیک کوانتوم، قابل اعمال در مورد امواج الکترومغناطیس می‎باشد. این واقعیت که در این مساّله ویژه مقداری به ازای است و ویژه عملگر نیز هرمیتی است، ایجاب می‎کند که فرکانس های ویژه حاصل از حل این مساله، حقیقی باشند و همچنین عمود بودن ویژه توابع را نتیجه می‎دهد.
۳-۲-۱ اثبات تئوری بلاخ
تئوری بلاخ برای مدهای ویژه مربوط به بلورهای فوتونی منظم است. در اینجا اثبات می‎کنیم که جواب معادله(۳-۱۲) به صورت(۳-۱۳) است]۵۹[:
E (۳-۱۲)
(۳-۱۳)
ابتدا ویژه تابع میدان الکتریکی را به صورت انتگرال فوریه زیر می‎نویسیم.
(۳-۱۴)
معادله ویژه مقداری میدان الکتریکی (معادله(۳-۱۱)) را با اندکی تغییرات به شکل زیر می‎نویسیم.
(۳-۱۵)
(۳-۱۶)
سپس بسط تابع دی‎الکتریک را به صورت سری فوریه می‎نویسیم.
(۳-۱۷)
با جایگذاری رابطه های (۳-۱۴) و (۳-۱۷) در (۳-۱۶) عبارت زیر به دست می‎آید]۵۹[:
(۳-۱۸)
چون رابطه (۳-۱۸) برای همه rها جواب دارد، پس باید عبارت زیر برقرار باشد]۵۹[:
k(3-19)
این معادله نشان می‎دهد که تنها آن دسته از ساختارهای فوریه، توسط بردارهای تقلیل ناپذیر شبکه، مساله ویژه مقداری را تشکیل می‎دهند که یک مجموعه از معادلات ویژه مقداری خطی هستند. بنابراین تنها آن ساختارهای فوریه برای بیان ویژه مدهای رابطه (۳-۱۴) لازم هستند.
(۳-۲۰)
اگر را به صورت زیر تعریف کنیم به رابطه (۳-۲۱) می‎رسم.
(۳-۲۱)
رابطه (۳-۲۱) یک عبارت دوره ای است.
(۳-۲۲)

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید.