هستند که a ثابت شبکه میباشد و بردارهای معکوس به صورت زیر هستند.
و (۳-۷)
نقاط متقارن منطقه اولین بریلوئن دارای مختصات و X= و M=( هستند.
در شکل(۳-۴) اولین منطقه تقسیم ناپذیر بریلوئن با نقاط ابر متقارن توسط مثلث خاکستری نشان داده شده است.
شکل(۳-۴). ناحیه بریلوئن اول دریک شبکه ملثی]۳۶[.
بردارهای مستقیم شبکه مثلثی به صورت زیر تعریف میشوند:
و (۳-۸)
و بردارهای وارون متناظر نیز به صورت هستند.
و (۳-۹)
نقاط ابر متقارن منطقه اولیه بریلوئن شبکه مثلثی دارای مختصات و K= و M=( هستند.
۳-۲ تئوری بلاخ [۵۹]
مطالعه انتشار موج در محیط های متناوب سه بعدی اولین بار توسط فیلیکس بلاخ در سال ۱۹۲۸ انجام گرفت. وی با توسعه تئوری یک بعدی فلوکونت[۶۰] ثابت کرد که امواج در چنین محیط های بدون پراکندگی منتشر میشوند و حاصلضرب یک تابع پوش متناوب (پریودیک) در یک موج مسطح، رفتار آنها را توصیف میکند. هرچند کار بلاخ روی شبکه های کریستالی اتمی و مکانیک منجر به این نتیجه جالب شد که، در یک هادی الکترونها توسط نقص های کریستالی( و نه یونهای منظم متناوب) پراکنده میشوند، تکنیک مشابهی را میتوان در الکترومغناطیس با جایگذاری معادلات ماکسول به جای معادلات شرودینگر در مسائل مقدار ویژه اعمال نمود.
فرض کنید که میدان الکترومغناطیسی یک وابستگی زمانی هماهنگ به صورت دارد]۵۹[.
معادلات کرل ماکسول در دامنه فرکانس به صورت زیر نوشته می شود.
(۳-۱۰)
که E میدان الکتریکی، H میدان مغناطیسی، فرکانس زاویه ای، نفوذپذیری مغناطیسی و ثابت دی الکتریک وابسته به مکان بلور فوتونی هستند. با حذف E از معادلات بالا میتوان به معادله زیر رسید]۵۹[.
(۳-۱۱) H
معادله فوق یک معادله ویژه مقداری است که در آن سرعت نور در خلاّ است. در اینجا نفوذپذیری مغناطیسی و گذردهی الکتریکی خلاّ می باشد.
به این ترتیب واضح است که این یک مساله ویژه مقداری، با ویژه مقدار () و عملگر می باشد. این عملگر هرمیتی است. بنابراین، همان تئوری جبر خطی حاکم در مکانیک کوانتوم، قابل اعمال در مورد امواج الکترومغناطیس میباشد. این واقعیت که در این مساّله ویژه مقداری به ازای است و ویژه عملگر نیز هرمیتی است، ایجاب میکند که فرکانس های ویژه حاصل از حل این مساله، حقیقی باشند و همچنین عمود بودن ویژه توابع را نتیجه میدهد.
۳-۲-۱ اثبات تئوری بلاخ
تئوری بلاخ برای مدهای ویژه مربوط به بلورهای فوتونی منظم است. در اینجا اثبات میکنیم که جواب معادله(۳-۱۲) به صورت(۳-۱۳) است]۵۹[:
E (۳-۱۲)
(۳-۱۳)
ابتدا ویژه تابع میدان الکتریکی را به صورت انتگرال فوریه زیر مینویسیم.
(۳-۱۴)
معادله ویژه مقداری میدان الکتریکی (معادله(۳-۱۱)) را با اندکی تغییرات به شکل زیر مینویسیم.
(۳-۱۵)
(۳-۱۶)
سپس بسط تابع دیالکتریک را به صورت سری فوریه مینویسیم.
(۳-۱۷)
با جایگذاری رابطه های (۳-۱۴) و (۳-۱۷) در (۳-۱۶) عبارت زیر به دست میآید]۵۹[:
(۳-۱۸)
چون رابطه (۳-۱۸) برای همه rها جواب دارد، پس باید عبارت زیر برقرار باشد]۵۹[:
k(3-19)
این معادله نشان میدهد که تنها آن دسته از ساختارهای فوریه، توسط بردارهای تقلیل ناپذیر شبکه، مساله ویژه مقداری را تشکیل میدهند که یک مجموعه از معادلات ویژه مقداری خطی هستند. بنابراین تنها آن ساختارهای فوریه برای بیان ویژه مدهای رابطه (۳-۱۴) لازم هستند.
(۳-۲۰)
اگر را به صورت زیر تعریف کنیم به رابطه (۳-۲۱) میرسم.
(۳-۲۱)
رابطه (۳-۲۱) یک عبارت دوره ای است.
(۳-۲۲)
| برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید. |