(۳-۲۳)
۳-۳ امواج بلاخ و ناحیه بریلوئن
همانگونه که در قسمت قبل اثبات شد، در مواردی که بلور فوتونی معادل یک تابع دی الکتریک به صورت وa بردار اولیه شبکه میباشد، تئوری بلاخ ایجاب میکند که جواب معادله(۳-۲۴) به صورت (۳-۲۵)باشد.
E (۳-۲۴)
(۳-۲۵)
ویژه مقادیر یک تابع پوش متناوب است که در معادله زیر صدق میکنند.
()(۳-۲۶)
که این خود به یک مساله ویژه مقداری دیگری روی سلول های شبکه، به ازای هر بردار موج k ، منجر میشود. اگر ساختار در همه جهات متناوب باشد، حل این معادله به مقادیر ویژه گسسته که با n=1,2,.. مشخص میشوند میانجامد. این مقادیر ویژه توابع پیوسته ای از k بوده و تشکیل باندهای گسسته ای را داده که اگر نسبت به k رسم شوند، حاصل ساختار نواری[۶۱] نام دارد. شکل زیر نمونه ای از یک ساختار نواری را نشان میدهد.
طبق تئوری بلاخ همچنین، توابع متناوبی از k هستند.
(۳-۲۷)
بردار اولیه شبکه وارون است. بنابراین تنها کافی است که توابع ویژه به ازای مقادیر k داخل یک سلول اولیه شبکه معکوس محاسبه شوند. اولین پریود ( پریود نزدیک به مبدا)، اولین ناحیه بریلوئن نام دارد. به عنوان مثال در مورد یک سیستم یک بعدی به ازای تناوب a، بوده و بازه k=- اولین ناحیه بریلوئن است. در صورتی که سیستم دارای تقارن های دیگری نیز باشد، میتوان اولین ناحیه بریلوئن را به ناحیه کوچکتری به نام ناحیه غیر قابل تقلیل بریلوئن[۶۲] تقسیم کرد. به عنوان مثال در سیستم یک بعدی، با توجه به خاصیت تقارن وارون زمانی[۶۳] (k)، ناحیه غیر قابل تقلیل بریلوئن k= خواهد بود.
۳-۴ مد های ویژه بلور های فوتونی
برای تحلیل میدان تابشی در یک بلور فوتونی، در مرحله اول فرمول های مربوط به مساله ویژه مقداری از معادلات موج را بررسی کرده و یک روش عددی کلی برای حل آن بیان میکنیم. علاوه بر حالت سه بعدی ، حالت دو بعدی بلور فوتونی (حالتی که معادلات بردار موج به دو معادله عددی مستقل کاهش پیدا میکند) را نیز بیان میکنیم.
۳-۴-۱ بردار های موج مساّله ویژه مقداری
ابتدا از معادلات ماکسول شروع میکنیم. به دلیل آنکه مدهای ویژه برای میدان تابشی را میخواهیم، در اینجا بارهای آزاد و جریان الکتریکی وجود ندارد. در این حالت معادلات ماکسول در حالت کلی به شکل زیر وجود دارند.
(۳-۲۸)
در معادلات بالا Eمیدان الکتریکی، H میدان مغناطیسی، D جابجایی الکتریکی، B القای مغناطیسی است.
برای حل معادلات موج به دست آمده از معادلات ماکسول، باید D را به E، و B را به H مربوط سازیم.
(۳-۲۹)
(و) مربوط به محیط آزاد و ثابت دی الکتریک مربوط به بلور فوتونی هستند.
به دلیل دوره ای بودن رابطه زیر وجود دارد.
(۳-۳۰)
در معادله بالا المان بردار شبکه بلور فوتونی است. به دلیل این فضای دوره ای ما میتوانیم را در یک سری فوریه بسط دهیم. به همین منظور بردارهای شبکه و را به شکل زیر معرفی میکنیم.
(۳-۳۱)
اعداد صحیح دلخواه و دلتای کرونیکراست. به صورت زیر است.
(۳-۳۲)
به دلیل آنکه فرض کردیم تابع دی الکتریک حقیقی است، بنابراین= . زمانی که رابطه های (۳-۲۹) را در (۳-۲۸) جایگذاری کنیم داریم:
(۳-۳۳)
را در معاله (۳-۳۳) حذف میکنیم و روابط زیر را داریم.
(۳-۳۴)
در روابط بالا c سرعت نور در فضای آزاد است.
(۳-۳۵)
اکنون جواب های معادلات (۳-۳۴) به شکل زیر مینویسم.
(۳-۳۶)
فرکانس زاویه ای ویژه، تابع ویژه از معادلات موج هستند.
این توابع ویژه باید معادلات ویژه مقداری زیر را ارضا کنند.
(۳-۳۷)
عملگر های دیفرانسیلی هستند.
به دلیل اینکه تابع دوره ای از مختصات فضایی r هست، ما میتوانیم از تئوری بلاخ برای روابط بالا برای عملگرها را مانند حالتی که معادلات موج الکتریکی در بلور های معمولی با یک پتانسیل دوره ای با آرایش منظم اتم ها وجود دارد، استفاده کنیم.
بهوسیله بردار موج K در ناحیه اول بریلوئن و شاخص گروه n، به صورت زیر نشان داده میشوند.
| برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت jemo.ir مراجعه نمایید. |