خواص بلور فوتونی دوبعدی متشکل از استوانه‌هایی با پوشش فراماده در یک شبکه مربعی- قسمت ۱۱

خواص بلور فوتونی دوبعدی متشکل از استوانه‌هایی با پوشش فراماده در یک شبکه مربعی- قسمت ۱۱

۳-۸-۱ قطبش
در حالت بلورفوتونی دو بعدی، تمام مشتقات نسبت به z صفر می‎شوند و مطالعه انتشار نور در راستای صفحه سطح مقطع بلور محدود می‎شود، به عنوان مثال صفحه xy . این خاصیت، امکان مطالعه جداگانه مسائل مربوط به حالت قطبش نور را فراهم می‎کند. در قطبش های TMوTE ، نور تابشی در حالت دو بعدی اهمیت پیدا می‎کند. در حالت قطبش TM، مؤلفه های میدان مغناطیسی با صفحه ی xy موازی هستند و است. در حالت قطبش TE، است و مؤلفه های میدان الکتریکی در صفحه قرار دارند. در بلورهای فوتونی دی الکتریک گاف نواری برای این دو نوع قطبش متفاوت بروز می‎کند.
۳-۹ معادلات انتشار در بلور فوتونی به روش بسط موج تخت
در این قسمت، فرمول های روش بسط موج تخت برای محاسبه موج عبور و بازتاب براگ از یک بلور دو بعدی را بیان می‎کنیم.‎ این روش برای هر بلور فوتونی دو بعدی، تا زمانی که بردار موج مربوط به موج تخت تابشی در صفحه دو بعدی x-y قرار دارد، قابل استفاده است. در شکل زیر نمونه ای برای این محاسبات، آورده شده است.
شکل (۳-۶) سطح مقطع بلور فوتونی دو بعدی متشکل از استوانه های طویل دی‌الکتریک]۵۹[.
در شکل (۳-۶) موج تخت خارجی در ناحیه ۱ به سمت چپ نمونه ای که در ناحیه ۲ وجود دارد برخورد می‎کند. این نمونه از N لایه میله دایره ای به شعاع ساخته شده است. ثابت دی الکتریک میله ها و پس زمینه به ترتیب و است. ثابت شبکه در جهت محور x و در جهت محور y است. فاصله بین سطح و اولین لایه از میله ها را با d نشان داده شده است. هنگامی که با شبکه مربعی سرو کار داریم مقدار یکسانی برای و در نظر می‎گیریم. ثابت دی الکتریک برای نواحی ۱ و ۳ به ترتیب و ، و ضخامت کلی این نمونهL=(N-1) +2(r+d) است. از آنجایی که بلور فوتونی ممکن است به عنوان توری دوره‎ای[۷۰]در نظر گرفته شود، میدان مغناطیسی در ناحیه ۱ بر موج تخت تابشی و موج های بازتاب براگ منطبق است و در ناحیه ۳ از امواج انتقالی براگ ساخته شده است. بردار موج دو بعدی مربوط به موج تخت تابشی، توسط نشان داده شده است. در اینجا زاویه تابشی، ، فرکانس زاویه ای میدان تابشی است. بردارهای موج عبوری و بازتاب براگ از مرتبه n ، به شکل زیر هستند]۵۹[.
(۳-۴۹)
(۳-۵۰)
معادله بردار موج به دست آمده توسط معادلات ماکسول، هنگامی که بردار موج در صفحه x-y وجود دارد و میدان به محور z وابسته نیست، می‎تواند به دو معادله عددی[۷۱] کاهش پیدا کند. این دو معادله، قطبش E( برای حالتی که میدان الکتریکی موازی محور z )و قطبش H ( برای حالتی که میدان مغناطیسی موازی محور z ) هستند. بدلیل شرایط مرزی مماسی میدان های الکتریکی و مغناطیسی در مرزها، میدان ها در منطقه ۱ و ۳ به وسیله قطبش هایشان مشخص می‎شوند.
۳-۱۰ روش تئوری محاسبه طیف عبوری از بلور فوتونی به روش بسط موج
تخت
در این قسمت روابط مربوط به طیف انتشار در بلور فوتونی و طیف عبوری و بازتاب براگ بیان می‎شود]۵۹[. موج تخت خارجی راست رونده به ضلع جلویی نمونه که در ناحیه ۲ جایگزیده شده و شامل N لایه میله دایروی با شعاعr در یک پیش زمینه دی الکتریک است، برخورد می‎کند در شکل(۳-۶)، ثابت دی الکتریک میله ها، ثابت دی الکتریک زمینه ، ۱و ۳: ثابت دی الکتریک مناطق یک و سه و ضخامت کل نمونه بصورت زیر است.
(۳-۵۱)
از آنجاییکه بلور فوتونی می‌تواند مانند یک توری متناوب محسوب ‎شود، میدان الکترومغناطیسی در ناحیه ۱ حاصل بر هم‌نهی موج تخت فرودی و امواج بازتابیده براگ است، در حالیکه در ناحیه ۳ میدان ترکیبی از امواج براگ عبوری است. معادلات بردار موج که از معادلات ماکسول استخراج شده، زمانیکه بردار موج در صفحه (x-y)قرار می گیرد یا بعبارتی زمانیکه میدان مستقل از مختصات zاست، تبدیل به معادلات اسکالر مستقل می شود. این مد قطبش E نامیده می‌شود اگر میدان الکتریکی موازی محور z باشد و قطبشH اگر میدان مغناطیسی موازی محور z باشد. اکنون معادلات میدان را برای قطبش E یا همان مد TEبیان می‌کنیم، میدان الکتریکی در ناحیه ۲ در رابطه ویژه مقداری زیر صدق می‌کند]۵۹[.
(۳-۵۲)
عملگر دیفرانسیلبا اولین تساوی در معادله فوق تعریف می‌شود. با توجه به معادله فوق، معادله میدان در نواحی ۱و۳ با در نظر گرفتن مولفه های عبور و بازتاب براگ بصورت زیر خواهد بود]۵۹[.
(۳-۵۳)
(۳-۵۴)
در رابطه (۴)، : بزرگی (دامنه) میدان الکتریکی موج فرودی،: دامنه امواج بازتاب براگ،: دامنه امواج انتشار یافته براگ و L طول کل نمونه است. توابع و را بصورت زیر تعریف می‌کنیم]۵۹[.
(۳-۵۵)
(۳-۵۶)
با جایگذاری روابط فوق در معادلهو مقایسه ضرایب فوریه مستقل بعد از اندکی محاسبات به معادلات زیر می رسیم.
(۳-۵۷)
با اعمال شرایط مرزی در هر ۲ ناحیه داریم:
(۳-۵۸)
π(۳-۵۹)
روابط (۷) و (۸) ضرایب نا معلوم و و را معرفی می‌کنند که در محاسبات عددی واقعی تعداد ضرایبی که در بسط فوریه ظاهر می‎شود محدود می‌کنیم و معادلات خطی را حل می کنیم]۵۹[.
۳-۱۰-۱ اثبات رابطه (۳-۵۷)
در معادله، و و را جایگذاری می‎کنیم.
(۳-۶۰)
در رابطه بالا به صورت زیر است.
(۳-۶۱)
و نیز به صورت زیر هستن

منبع فایل کامل این پایان نامه این سایت pipaf.ir است

د.
(۳-۶۲)
(۳-۶۳)
در رابطه از روابط زیر استفاده می‎کنیم .
(۳-۶۴)
(۳-۶۵)
بنابراین را می‎توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
(۳-۶۶)